HỌC HAY THI NGAY GIỎI HƠN MỖI NGÀY

  -  
Trạng Nguyên thi Tiếng Việt, luyện thi Olympic Toán, Tiếng Anh, làm bài tập cuối tuần giúp phát triển trí thông minh đa diệnToan ViOlympic Học hay Thi ngay Giỏi hơn mỗi ngày Bạn đang xem: Violympic học hay thi ngay giỏi hơn mỗi ngàyHãy nhập câu hỏi của bạn, hostingvietnam.vn sẽ tìm những câu hỏi có sẵn cho bạn. Nếu không thỏa mãn với các câu trả lời có sẵn, bạn hãy tạo câu hỏi mới.

Bạn đang xem: Học hay thi ngay giỏi hơn mỗi ngày

Trạng Nguyên thi Tiếng Việt, luyện thi Olympic Toán, Tiếng Anh, làm bài tập cuối tuần giúp phát triển trí thông minh đa diệnToan ViOlympic Học hay Thi ngay Giỏi hơn mỗi ngày

Trạng Nguyên - thi Tiếng Việt, luyện thi Olympic Toán, Tiếng Anh, làm bài tập cuối tuần giúp phát triển trí thông minh đa diện

Toan ViOlympic - Học hay - Thi ngay - Giỏi hơn mỗi ngày

Đọc tiếp...

Like và follow fanpage để ủng hộ và giúp đỡ chúng mình phát triển cuộc thi:>

Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook

Có câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:

Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu

-------------------------------------------------------------------

Người biên soạn câu hỏi: Hồng Sơn


*

Người biên soạn câu hỏi: Quoc Tran Anh Le

Trích Moldova, 2006: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Xem thêm: Cách Kiểm Tra Máy Bao Nhiêu Bit Đơn Giản Nhất? Cách Kiểm Tra Xem Máy Tính Bao Nhiêu Bit

Chứng minh rằng:

\(a^2\left(\dfrac{b}{c}-1\right)+b^2\left(\dfrac{c}{a}-1\right)+c^2\left(\dfrac{a}{b}-1\right)\ge0\).

Xem thêm: Xem Doanh Thu Youtube Của Người Khác, Youtube Trả Tiền Như Thế Nào

Đọc tiếp...

Gõ lại lần cuối, không được nữa nghỉ chơi hoc24:v

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\geq abc(a^2+b^2+c^2)$$Ta có$2\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) - 2abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$$= \displaystyle\LARGE{\sum} {{a^3}} \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) -\displaystyle \LARGE{\sum} {{a^2}} ({b^3} - {c^3})$Mặt khác ta có đẳng thức sau

$${a^2}\left( {{b^3} - {c^3}} \right) + {b^2}\left( {{c^3} - {a^3}} \right) + {c^2}\left( {{a^3} - {b^3}} \right) = {a^2}{\left( {b - c} \right)^2} + {b^2}{\left( {c - a} \right)^2} + {c^2}{\left( {a - b} \right)^2}$$Từ đó dễ dàng thu được$$2\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) - 2abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$$$$= {a^2}{\left( {b - c} \right)^2}\left( {a - b + c} \right) + {b^2}{\left( {c - a} \right)^2}\left( {b - c + a} \right) + {c^2}{(a - b)^2}\left( {c - a + b} \right)$$$$= {S_a}{\left( {b - c} \right)^2} + {S_b}{\left( {c - a} \right)^2} + {S_c}{\left( {a - b} \right)^2}$$Với$${S_a} = {a^2}\left( {a - b + c} \right)$$$${S_b} = {b^2}\left( {b - c + a} \right)$$$${S_c} = {c^2}\left( {c - a + b} \right)$$Do $a,$$b,$$c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên rõ ràng $S_a,S_b,S_c$ không âm. Ta thu được điều hiển nhiên.