HỌC HAY THI NGAY GIỎI HƠN MỖI NGÀY
Bạn đang xem: Học hay thi ngay giỏi hơn mỗi ngày
Trạng Nguyên thi Tiếng Việt, luyện thi Olympic Toán, Tiếng Anh, làm bài tập cuối tuần giúp phát triển trí thông minh đa diệnToan ViOlympic Học hay Thi ngay Giỏi hơn mỗi ngày
Trạng Nguyên - thi Tiếng Việt, luyện thi Olympic Toán, Tiếng Anh, làm bài tập cuối tuần giúp phát triển trí thông minh đa diện
Toan ViOlympic - Học hay - Thi ngay - Giỏi hơn mỗi ngày
Đọc tiếp...
Like và follow fanpage để ủng hộ và giúp đỡ chúng mình phát triển cuộc thi:>
Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook
Có câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:
Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu
-------------------------------------------------------------------
Người biên soạn câu hỏi: Hồng Sơn

Người biên soạn câu hỏi: Quoc Tran Anh Le
Trích Moldova, 2006: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Xem thêm: Cách Kiểm Tra Máy Bao Nhiêu Bit Đơn Giản Nhất? Cách Kiểm Tra Xem Máy Tính Bao Nhiêu Bit
Chứng minh rằng:
\(a^2\left(\dfrac{b}{c}-1\right)+b^2\left(\dfrac{c}{a}-1\right)+c^2\left(\dfrac{a}{b}-1\right)\ge0\).
Xem thêm: Xem Doanh Thu Youtube Của Người Khác, Youtube Trả Tiền Như Thế Nào
Gõ lại lần cuối, không được nữa nghỉ chơi hoc24:v
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\geq abc(a^2+b^2+c^2)$$Ta có$2\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) - 2abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$$= \displaystyle\LARGE{\sum} {{a^3}} \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) -\displaystyle \LARGE{\sum} {{a^2}} ({b^3} - {c^3})$Mặt khác ta có đẳng thức sau
$${a^2}\left( {{b^3} - {c^3}} \right) + {b^2}\left( {{c^3} - {a^3}} \right) + {c^2}\left( {{a^3} - {b^3}} \right) = {a^2}{\left( {b - c} \right)^2} + {b^2}{\left( {c - a} \right)^2} + {c^2}{\left( {a - b} \right)^2}$$Từ đó dễ dàng thu được$$2\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) - 2abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$$$$= {a^2}{\left( {b - c} \right)^2}\left( {a - b + c} \right) + {b^2}{\left( {c - a} \right)^2}\left( {b - c + a} \right) + {c^2}{(a - b)^2}\left( {c - a + b} \right)$$$$= {S_a}{\left( {b - c} \right)^2} + {S_b}{\left( {c - a} \right)^2} + {S_c}{\left( {a - b} \right)^2}$$Với$${S_a} = {a^2}\left( {a - b + c} \right)$$$${S_b} = {b^2}\left( {b - c + a} \right)$$$${S_c} = {c^2}\left( {c - a + b} \right)$$Do $a,$$b,$$c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên rõ ràng $S_a,S_b,S_c$ không âm. Ta thu được điều hiển nhiên.