HỌC HAY THI NGAY GIỎI HƠN MỖI NGÀY

Trạng Nguyên - thi Tiếng Việt, luyện thi Olympic Toán, Tiếng Anh, làm bài tập cuối tuần giúp phát triển trí thông minh đa diện

Toan ViOlympic - Học hay - Thi ngay - Giỏi hơn mỗi ngày

Like và follow fanpage để ủng hộ và giúp đỡ chúng mình phát triển cuộc thi:>

Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook

Có câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:

Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu

-------------------------------------------------------------------

Người biên soạn câu hỏi: Hồng Sơn

Người biên soạn câu hỏi: Quoc Tran Anh Le

Trích Moldova, 2006: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Xem thêm: Cách Kiểm Tra Máy Bao Nhiêu Bit Đơn Giản Nhất? Cách Kiểm Tra Xem Máy Tính Bao Nhiêu Bit

Chứng minh rằng:

\(a^2\left(\dfrac{b}{c}-1\right)+b^2\left(\dfrac{c}{a}-1\right)+c^2\left(\dfrac{a}{b}-1\right)\ge0\).

Xem thêm: Xem Doanh Thu Youtube Của Người Khác, Youtube Trả Tiền Như Thế Nào

Gõ lại lần cuối, không được nữa nghỉ chơi hoc24:v

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\geq abc(a^2+b^2+c^2)$$Ta có$2\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) - 2abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$$= \displaystyle\LARGE{\sum} {{a^3}} \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) -\displaystyle \LARGE{\sum} {{a^2}} ({b^3} - {c^3})$Mặt khác ta có đẳng thức sau

$${a^2}\left( {{b^3} - {c^3}} \right) + {b^2}\left( {{c^3} - {a^3}} \right) + {c^2}\left( {{a^3} - {b^3}} \right) = {a^2}{\left( {b - c} \right)^2} + {b^2}{\left( {c - a} \right)^2} + {c^2}{\left( {a - b} \right)^2}$$Từ đó dễ dàng thu được$$2\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) - 2abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$$$$= {a^2}{\left( {b - c} \right)^2}\left( {a - b + c} \right) + {b^2}{\left( {c - a} \right)^2}\left( {b - c + a} \right) + {c^2}{(a - b)^2}\left( {c - a + b} \right)$$$$= {S_a}{\left( {b - c} \right)^2} + {S_b}{\left( {c - a} \right)^2} + {S_c}{\left( {a - b} \right)^2}$$Với$${S_a} = {a^2}\left( {a - b + c} \right)$$$${S_b} = {b^2}\left( {b - c + a} \right)$$$${S_c} = {c^2}\left( {c - a + b} \right)$$Do $a,$$b,$$c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên rõ ràng $S_a,S_b,S_c$ không âm. Ta thu được điều hiển nhiên.