Học hay thi ngay giỏi hơn mỗi ngày

Trạng Nguyên - thi giờ đồng hồ Việt, luyện thi Olympic Toán, tiếng Anh, làm bài xích tập cuối tuần giúp trở nên tân tiến trí thông minh đa diện

Toan ViOlympic - Học tuyệt - Thi ngay - xuất sắc hơn từng ngày

Like và follow fanpage nhằm ủng hộ và giúp sức chúng mình trở nên tân tiến cuộc thi:>

Cuộc thi Toán tiếng Anh VEMC | Facebook

Có câu hỏi hay? giữ hộ ngay ngóng chi:

Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu

-------------------------------------------------------------------

Người biên soạn câu hỏi: Hồng Sơn

Người biên soạn câu hỏi: Quoc Tran Anh Le

Trích Moldova, 2006: mang lại a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Xem thêm: Cách Kiểm Tra Máy Bao Nhiêu Bit Đơn Giản Nhất? Cách Kiểm Tra Xem Máy Tính Bao Nhiêu Bit

Chứng minh rằng:

(a^2left(dfracbc-1 ight)+b^2left(dfracca-1 ight)+c^2left(dfracab-1 ight)ge0).

Xem thêm: Xem Doanh Thu Youtube Của Người Khác, Youtube Trả Tiền Như Thế Nào

Gõ lại lần cuối, không được nữa nghỉ nghịch hoc24:v

Bất đẳng thức cần minh chứng tương đương với $$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2geq abc(a^2+b^2+c^2)$$Ta có$2left( a^3b^2 + b^3c^2 + c^3a^2 ight) - 2abcleft( a^2 + b^2 + c^2 ight)$$= displaystyleLARGEsum a^3 left( b^2 - 2bc + c^2 ight) -displaystyle LARGEsum a^2 (b^3 - c^3)$Mặt khác ta có đẳng thức sau

$$a^2left( b^3 - c^3 ight) + b^2left( c^3 - a^3 ight) + c^2left( a^3 - b^3 ight) = a^2left( b - c ight)^2 + b^2left( c - a ight)^2 + c^2left( a - b ight)^2$$Từ đó thuận tiện thu được$$2left( a^3b^2 + b^3c^2 + c^3a^2 ight) - 2abcleft( a^2 + b^2 + c^2 ight)$$$$= a^2left( b - c ight)^2left( a - b + c ight) + b^2left( c - a ight)^2left( b - c + a ight) + c^2(a - b)^2left( c - a + b ight)$$$$= S_aleft( b - c ight)^2 + S_bleft( c - a ight)^2 + S_cleft( a - b ight)^2$$Với$$S_a = a^2left( a - b + c ight)$$$$S_b = b^2left( b - c + a ight)$$$$S_c = c^2left( c - a + b ight)$$Do $a,$$b,$$c$ là độ dài bố cạnh tam giác nên cụ thể $S_a,S_b,S_c$ không âm. Ta thu được điều hiển nhiên.