Giới Hạn Lim Toán Cao Cấp

      14

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên đại lý những kỹ năng của lịch trình thêm, mục đích của bài xích này là ôn tập, khối hệ thống hóa với nâng cấp các kỹ năng về hàm số một biến chuyển số: Giới hạn, tính thường xuyên của hàm số.quý khách đã xem: Các phương pháp tính giới hạn trong toán cao cấp

Hướng dẫn học tập • Đây là bài học kinh nghiệm nhằm mục tiêu ôn tập với khối hệ thống hóa lại các kỹ năng toán thù học sẽ học trong lịch trình càng nhiều bắt buộc bạn phải hiểu kỹ lại các lý thuyết về hàm số....
*

Bài 1: Hàm số, giới hạn với thường xuyên BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêu • Hiểu được có mang hàm số, giới hạn, sựquý khách cần học tập và làm bài tập của bài xích nàytrong nhì tuần, mỗi tuần khoảng tầm 3 cho 4 liên tụcgiờ đồng hồ đeo tay.

Bạn đang xem: Giới hạn lim toán cao cấp

• Giải được các bài xích tập về hàm số, giới hạn, tính liên tiếp • Áp dụng ứng dụng toán thù nhằm tính toán cùng với hàm số, giới hạnNội dungTrên các đại lý những kỹ năng của chương trình rộng rãi, mục tiêu của bài xích này là ôn tập, hệ thốnghóa và nâng cao các kiến thức và kỹ năng về hàm số một phát triển thành số: Giới hạn, tính liên tiếp củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học tập đã học tập vào chương trình nhiều yêu cầu bạn cần phát âm kỹ lại những triết lý về hàm số, giới hạn.• Sau Khi đọc kỹ định hướng bạn cần có tác dụng bài xích tập càng nhiều càng giỏi nhằm củng vậy và cải thiện kiến thức. 1 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn cùng liên tục1.1. Hàm số một biến đổi số1.1.1. Định nghĩa hàm số một thay đổi số Cho X là tập phù hợp không giống rỗng của R . Ta Điện thoại tư vấn ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một phát triển thành số bên trên tập đúng theo X , trong đó x là vươn lên là số hòa bình, y là đại lượng dựa vào hay hàm số của x . Tập hòa hợp X hotline là miền khẳng định của hàm số f . Tập hòa hợp f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X hotline là miền quý giá của f Nếu hàm số một đổi thay số đến trong dạng biểu thức: y = f (x) cơ mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác minh của hàm số là tập đúng theo đa số quý hiếm thực của biến số x tạo nên biểu thức có nghĩa. lấy một ví dụ 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác minh lúc : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Do đó miền xác định của hàm số y = 1 − x 2 là . Dễ dàng thấy rằng miền quý giá của hàm y là . Miền khẳng định của một hàm số có thể bao gồm nhiều tập bé tách nhau, trên từng tập bé này lại tất cả một quy tắc riêng biệt để xác định quý giá của hàm số. Hàm số có thể được xác minh bởi các công thức khác biệt tùy nằm trong vào quý hiếm của phát triển thành. Ví dụ 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x khi x Bài 1: Hàm số, giới hạn với tiếp tục CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số rất có thể là tập phù hợp những điểm tránh rộc rạc, cũng hoàn toàn có thể gồm một số trong những cung ngay tức thì lấy một ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 lúc x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x khi 0 1 ⎩2 Hình 1.1 Việc vẽ tổng quát vật thị của hàm số f với miền xác minh là 1 trong khoảng số thực thường được khẳng định theo trình từ như sau: Lấy các số x1 , x 2 ,..., x n trường đoản cú miền xác định của hàm số (càng những điểm và các điểm càng gần nhau càng tốt). • Tính các giá trị tương ứng của hàm số y1 = f (x1 ),..., y n = f (x n ) • Xác định những điểm • M1 = (x1 , y1 ),..., M n = (x n , y n ) • Nối các điểm sẽ khẳng định nói bên trên ta bao gồm hình hình họa tổng quát của đồ dùng thị hàm số. Cách vẽ như bên trên ko trọn vẹn đúng mực mà lại chỉ đến hình dáng của vật dụng thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng làm minch họa Hình 1.2 các đặc trưng cơ phiên bản, sự phụ thuộc vào của cực hiếm của hàm số và đổi mới số. Nhìn vào thứ thị rất có thể dễ dàng quan liêu cạnh bên xu hướng đổi khác của cực hiếm hàm số Lúc trở nên tự do biến hóa.1.1.3. Hàm số đối chọi điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số đối chọi điệu Hàm số f (x) khẳng định trong tầm (a, b) • Được hotline là solo điệu tăng trong khoảng (a, b) ví như với đa số x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 Bài 1: Hàm số, giới hạn cùng thường xuyên (Nếu ĐK trên vẫn đúng vào lúc quăng quật lốt đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f sút ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b) ). Hàm số f được Hotline là đối kháng điệu trên (a, b) ví như nó chỉ đơn điệu tăng hoặc chỉ đối chọi điệu bớt trong khoảng này. Đồ thị của hàm số tăng là một con đường “đi lên”, ngược chở lại đồ vật thị hàm số bớt là đường “đi xuống” nếu như quan sát trường đoản cú trái lịch sự đề nghị. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f khẳng định trên một tập thích hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng tầm (−l, l) , đoạn , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 Bài 1: Hàm số, giới hạn với liên tục còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là những hàm lẻ trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, còn thứ thị hàm lẻ dìm cội tọa độ O làm trung khu đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần trả Định nghĩa: Hàm số f được gọi là tuần hoàn trên miền khẳng định D (thường thì xét D ≡ R ) giả dụ mãi sau số thực p ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p ∈ D với f (x + p) = f (x). Số p gọi là chu kỳ luân hồi của hàm f . 5 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục Nếu trong các số p nói trên, lâu dài một số dương nhỏ dại độc nhất – cam kết hiệu bởi T – thì T được Gọi là chu kỳ luân hồi cơ bạn dạng của f . lấy ví dụ 5: Các hàm sin x, cos x rất nhiều tuần trả với chu kỳ 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R Các hàm tgx,cotgx phần lớn tuần hoàn với chu kỳ luân hồi π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 mà hơn nữa các chu kỳ luân hồi nói trên đều là những chu kỳ luân hồi cơ phiên bản. Thật vậy, ví dụ điển hình lưu ý hàm y = sin x , mang sử trường tồn số dương T Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn cùng liên tiếp Hàm số g biến x thành y theo phép tắc trên Gọi là (hàm số) thích hợp của nhì hàm f với ϕ . Ký hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng vào phương pháp ký hiệu trên, hàm như thế nào che khuất lại sở hữu tác động ảnh hưởng trước mang đến biến đổi x ). ví dụ như 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm đúng theo của nhì hàm y = u 5 cùng u = sin x . Cách nói sau cũng khá được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm thích hợp của nhì hàm f (x) = x 5 cùng ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) tất cả miền khẳng định X , miền cực hiếm Y = f (X) . Nếu với mỗi y 0 ∈ Y lâu dài duy nhất x 0 ∈ X để f (x 0 ) = y0 (tốt phương trình f (x) = y0 gồm nghiệm duy nhất trong X ) thì phép tắc trở thành mỗi số y ∈ Y thành nghiệm tuyệt nhất của phương trình f (x) = y là 1 trong hàm số đi từ bỏ Y mang lại X điện thoại tư vấn là hàm ngược của hàm f , ký hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Khi đó, dễ dàng thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) bao gồm hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) bao gồm hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • Các các chất giác thân thuộc đều phải có hàm ngược với cùng một bí quyết ký kết hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → ⎟ tất cả hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ kia là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ( → ) Hàm số y = cos x gồm hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược o đó là: x = arccos y ( → ) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ bao gồm hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn cùng liên tục ( ( 0, π ) → R ) gồm hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược kia là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • Do thường ký kết hiệu x để chỉ trở thành tự do và y nhằm chỉ biến phụ thuộc vào nên khi màn trình diễn hàm ngược thay vị x = f −1 (y) tất cả viết y = f −1 (x) . Chẳng hạn y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của hai hàm ngược nhau ko biến đổi như lúc thay đổi phương châm x,y lẫn nhau thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác đầu tiên. Thật vậy, Hotline (C) với (C’) theo thứ tự là đồ vật thị của nhì hàm f (x) với f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M " = (y, x) ∈ (C ") Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit1.1.6. Các hàm số sơ cấp1.1.6.1. Các hàm số sơ cung cấp cơ bạn dạng • Hàm lũy vượt y = x α (α ∈ R) Miền khẳng định (MXĐ) của hàm phụ thuộc vào số α . o Nếu α ≥ 0 , MXĐ là R . o Nếu α nguan tâm. MXĐ là R 0 . 1 Nếu α = , p ∈ R* thì MXĐ là R + ví như o p p chẵn cùng R nếu p lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 Nếu α vô tỷ, MXĐ được quy ước là R + . o • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 với nghịch trở thành giả dụ 0 1 với nghịch trở thành trường hợp o 0 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn cùng tiếp tục y = cos x : Có MXĐ là R ,o MGT ; đến tương ứng từng số thực x với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần trả với chu kỳ luân hồi cơ bản 2π . y = tgx : Có MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; mang lại khớp ứng mỗi số thực x với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc xác minh những các chất giác điểm tia OM ( M là vấn đề trình diễn cung x radian trê tuyến phố tròn lượng giác) cùng với trục tan là con đường trực tiếp bao gồm phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần trả cùng với chu kỳ cơ bạn dạng π . y = cotgx: Có MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; mang đến tương xứng mỗi số thực xo cùng với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm màn trình diễn cung x radian trê tuyến phố tròn lượng giác) với trục cotg là mặt đường thẳng bao gồm phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn cùng với chu kỳ cơ bản π . Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác 9 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục • Hàm lượng giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : Có MXĐ là , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. o ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. y = arccos x : Có MXĐ là , MGT là hàm ngược của hàm cos. o Hàm y = arccos x là hàm nghịch trở nên. o ⎛ π π⎞ y = arctgx : Có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. o ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng trở nên. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : Có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. o ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị các các chất giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp cho là một hàm số được Ra đời từ các hàm số sơ cấp cho cơ phiên bản với hàm hằng cùng với một trong những hữu hạn những phnghiền tân oán số học tập (cộng, trừ, nhân chia) cùng các phép tân oán mang hàm phù hợp. ví dụ như 8: Các hàm số sau rất nhiều là những hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 Bài 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • Hàm lượng giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Dãy số cùng số lượng giới hạn của hàng số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Dãy số Ta hotline dãy số là 1 trong những tập vừa lòng các số (hotline là những số hạng) được viết theo một máy tự, tuyệt được khắc số bởi những số thoải mái và tự nhiên. Để cho một dãy số, người ta rất có thể dùng những phương pháp như liệt kê, công thức bao quát với phương pháp truy nã hồi. • Liệt kê: Viết toàn bộ những số hạng theo đúng vật dụng từ bỏ (còn nếu như không viết được không còn thì dùng vết “…” nhằm biểu hiện dãy còn tiếp tục). • Công thức tổng quát: Chỉ rõ phương pháp khẳng định một số hạng bất kỳ chỉ cần phải biết thứ từ của số hạng kia trong hàng. • Công thức tróc nã hồi: Chỉ rõ cách xác minh một số trong những hạng lúc biết các số hạng ngay thức thì trước nó trong hàng. • Liệt kê chỉ bao gồm chân thành và ý nghĩa diễn tả với tương thích tốt nhất với dãy hữu hạn, rất có thể xem là cách biểu diễn bằng quy nạp không hoàn toàn. Còn nhị phương pháp tê đảm bảo rất có thể tìm kiếm được số hạng cùng với lắp thêm từ ngẫu nhiên vào hàng. lấy ví dụ như 9: Dãy Fibonacci cùng 3 cách biểu diễn nêu trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • Công thức tổng quát: Số hạng máy n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • Công thức truy vấn hồi: Hai số hạng thứ nhất đề bởi 1, tiếp kia, số hạng sau được tính bằng tổng hai số hạng ngay lập tức trước. Công thức tổng thể của dãy số là giải pháp màn biểu diễn tốt nhất để rất có thể khái niệm hàng số. Nhờ nó, hàng số được định nghĩa một giải pháp rất là đơn giản dễ dàng mà lại nghiêm ngặt. Định nghĩa: Dãy số là một trong những ánh xạ (hàm số) có miền khẳng định là (hoặc một tập nhỏ các số tự nhiên tiếp tục của ) và đem quý giá vào tập các số thực R . Ta thường ký hiệu hàng số do x n n =1 hay gọn gàng hơn x n . ∞ 11 Bài 1: Hàm số, giới hạn với tiếp tục lấy một ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,..., ,...⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,..., (−1) n ,... n∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,..., n 2 ,... 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,..., (D) ,...⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2. Dãy tăng, dãy sút, hàng bị ngăn Dãy x n call là • Dãy tăng ví như x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy đơn điệu ví như nó là hàng tăng hoặc dãy sút.

Xem thêm: Cách Vào Facebook Mạng Fpt Không Vào Được Facebook, Khắc Phục Lỗi: Mạng Fpt Không Vào Được Facebook

• Bị chặn trên nếu trường tồn số M làm thế nào cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị ngăn bên dưới ví như vĩnh cửu số m sao cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị ngăn ví như vừa bị chặn trên, vừa bị ngăn bên dưới. Trong ví dụ 10 • Dãy (A) là hàng số bớt, bị ngăn dưới bởi vì 0 cùng bị chặn trên do 1. • Dãy (B) ko 1-1 điệu, bị chặn bên dưới do −1 và bị chặn bên trên vị 1. • Dãy (C) là dãy tăng, bị ngăn bên dưới vày 1 không bị ngăn trên yêu cầu không biến thành chặn. • Dãy (D) là dãy tăng, bị ngăn dưới do 0 với bị ngăn trên vì chưng 1.1.2.2. Giới hạn của dãy số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét hàng số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,..., n ,...⎬ . Khoảng cách thân x n và 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: Cho trước một vài ε > 0 nhỏ nhắn tùy ý thì vẫn tìm được một số N làm thế nào cho ∀n > N thì khoảng cách thân x n với 0 đã nhỏ thêm hơn số ε kia. 1 Chẳng hạn, đến trước khoảng tầm ε = 0, 05 thì chỉ cần n = 8 thì x n − 0 = 0 mang đến trước (bé nhỏ tùy ý), lâu dài số thoải mái và tự nhiên n 0 làm thế nào cho với đa số n > n 0 thì x n − a Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn cùng tiếp tục Ta viết: lyên x n = a tuyệt x n → a Khi n → ∞ . n →∞ Dãy x n được Gọi là dãy quy tụ giả dụ mãi mãi số a nhằm llặng x n = a . Trong ngôi trường hòa hợp n →∞ ngược trở lại, ta nói hàng phân kỳ. Trong quan niệm trên, số n 0 phụ thuộc vào ε đề nghị ta viết n 0 = n 0 (ε) . lấy một ví dụ 11: 1 = 0. lyên n →∞ n Thật vậy, ta có: 1 xn − 0 = . n ⎡1 ⎤ Với từng ε > 0 bất kỳ chỉ việc lựa chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì lúc n > n 0 có ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = 0 mang đến trước (to tùy ý), sống thọ số thoải mái và tự nhiên n 0 làm thế nào cho với đa số n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết llặng x n = ∞ cùng là dãy phân kỳ. n →∞ Trên đây chỉ tuyên bố quan niệm giới hạn khôn cùng nói phổ biến, ta rất có thể tuyên bố chi tiết hơn về số lượng giới hạn +∞, −∞ .1.2.3. Tiêu chuẩn lâu dài giới hạn1.2.3.1. Tính tuyệt nhất của giới hạn Định lý: Nếu một hàng có giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy sẽ là dãy bị chặn . • Giới hạn là tốt nhất.1.2.3.2. Nguyên ổn lý số lượng giới hạn kẹp Nếu bao gồm cha dãy số x n , y n , z n thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lyên x n = llặng z n = a ( a có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì y n gồm giới hạn với • n →∞ n →∞ llặng y n = a . n →∞1.2.3.3. Định lý Weierstrass Dãy số tăng với bị chặn bên trên (hoặc bớt cùng bị chặn dưới) thì hội tụ. 13 Bài 1: Hàm số, giới hạn cùng liên tục1.2.4. Các định lý về giới hạn của hàng số Cho x n , y n là các dãy bao gồm số lượng giới hạn hữu hạn. Dùng quan niệm có thể chứng minh những kết quả sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± llặng y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n llặng y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . lyên n →∞ y lyên ổn y n n →∞ n n →∞ Crúc ý rằng Lúc cả x n , y n gồm các số lượng giới hạn vô cực thì nhìn bao quát không thực hiện 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . khi kia ta được các tác dụng nói trên. Các dạng vô định thường xuyên gặp gỡ là 0∞ cần dùng các phxay biến hóa nhằm khử dạng vô định. lấy một ví dụ 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lyên ổn ⎜ ⎟ : n →∞ lyên ổn 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = llặng ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lyên ổn n 2 + 3n − 2 − n = lyên ổn ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn1.3. Giới hạn cùng sự thường xuyên của hàm số1.3.1. Định nghĩa1.3.1.1. Định nghĩa (số lượng giới hạn hàm số) Giả sử hàm số f (x) khẳng định sinh sống ở bên cạnh điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). Ta nói hàm số f (x) bao gồm giới hạn là A Khi x dần tới x 0 nếu: Với phần đông số ε > 0 đến trước, phần đa sống thọ một trong những δ > 0 làm sao để cho khi: x − x 0 x 0 giỏi x Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Quá trình x tiến cho x 0 về phía mặt đề nghị, có nghĩa là x → x 0 cùng với điều kiện x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc đơn giản và dễ dàng rộng là x → x 0 + • Quá trình x tiến cho x 0 về phía bên trái, có nghĩa là x → x 0 với điều kiện x x 0 • Giới hạn mặt trái: lyên ổn f (x) = f (x) . lyên ổn x →x0 − x → x 0 ,x b (L b (f (x) g(x) ) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • Khi L 2 ≠ 0 . llặng g(x) L 2 x →a Định lý: Giả sử ϕ( x) cùng f (u) thỏa mãn những điều kiện: lyên ổn ϕ(x) = b với lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • mãi sau số δ > 0 làm sao cho Lúc x ∈ (a − δ;a + δ) cùng x ≠ a ta luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: llặng f ( ϕ(x) ) = L . x →a Định lý: Nếu hàm số sơ cấp cho f (x) xác minh trong vòng chứa điểm x = a thì lyên f (x) = f (a) . x →a Định lý: Nếu lâu dài số δ > 0 sao để cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 0, lim g(x) = α . lúc đó: lyên ổn g(x ) = bα . x →a x →a x →a ví dụ như 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 cùng lyên ổn = 3. ⎟ = 2 = 8 , bởi lim 3 llặng ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: Nếu lim f (x) = 0 và g(x) là 1 trong những hàm số bị chặn thì lyên ổn f (x).g(x) = 0 . x →a x →a 1 1 = 0 do llặng x 2 = 0 cùng sin là hàm bị ngăn. Ví dụ: lyên x 2 sin x x x →0 x →01.3.3. Vô thuộc to, hết sức bé1.3.3.1. Khái niệm • Đại lượng f(x) hotline là một trong khôn cùng nhỏ bé (viết tắt là VCB) Lúc x → a giả dụ lyên ổn f (x) = 0 . x →a Tại đây, a rất có thể là hữu hạn giỏi khôn xiết. Từ quan niệm giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A Lúc x → a thì f (x) = A + α(x) Trong đó α(x) là 1 trong Vietcombank khi x → a • Đại lượng F(x) Call là một khôn cùng bự (viết tắt là VCL) Lúc x → a nếu như llặng F(x) = +∞ x →a16 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn cùng tiếp tục 1 • Có thể thuận lợi thấy rằng trường hợp f(x) là 1 trong những Ngân hàng Ngoại thương Vietcombank không giống không khi x → a vậy nên VCL f (x) 1 với ngược lại nếu F(x) là 1 trong những VCL khác ko khi x → a thì là một trong những VCB F(x) Lúc x → a . Chụ thích: • Một hàm hằng khác không dù nhỏ dại bao nhiêu cũng không là 1 trong những Ngân hàng Ngoại thương Lúc x → a • Một hàm hằng mập bao nhiêu cũng chẳng thể là 1 VCL lúc x → a1.3.3.2. Tính hóa học • Nếu f1 (x), f 2 (x) là nhì Ngân hàng Ngoại thương VCB khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng là đa số Ngân hàng Ngoại thương Vietcombank khi x → a . • Nếu f1 (x), f 2 (x) thuộc vết và là nhì VCL Lúc x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là 1 VCL Khi x → a . Tích của nhị VCL lúc x → a cũng là 1 VCL lúc x → a .1.3.3.3. So sánh những cực kỳ nhỏ xíu • Bậc của các VCB Định nghĩa: Giả sử α( x), β(x) là hai Ngân hàng Ngoại thương Lúc x → a . α(x) = 0 ; ta bảo rằng α( x) là Ngân hàng Ngoại thương Vietcombank bậc cao hơn β( x) . Nếu lyên o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta nói rằng α(x) là Ngân hàng Ngoại thương Vietcombank bậc tốt rộng β(x) . Nếu lyên o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta nói rằng α(x) cùng β(x) là hai Ngân hàng Ngoại thương Vietcombank cùng bậc. Nếu lyên o x → a β(x) α(x) không sống thọ, ta bảo rằng quan trọng so sánh hai Vietcombank α(x) và Nếu llặng o x → a β(x) β( x) . lấy một ví dụ 14: 1 − cos x cùng 2x hầu hết là hầu như VCB khi x → 0 . x x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .llặng 1 . 2 =0 = lyên ổn Vì: llặng x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 buộc phải 1 − cos x là VCB bậc cao hơn 2x . lấy một ví dụ 15: 1 x.sin cùng 2x là mọi Ngân hàng Ngoại thương VCB Khi x → 0 . x 1 1 x sin sin x = 1 lyên ổn sin 1 . x = llặng Vì: lyên 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn cùng tiếp tục 1 1 buộc phải x sin với 2x là nhị Vietcombank Khi x → 0 không Nhưng ko tồn tại llặng sin x x x →0 so sánh được với nhau. • Vietcombank tương đương Định nghĩa: Hai Ngân hàng Ngoại thương VCB α ( x ) với β ( x ) không giống 0 Lúc x → a Điện thoại tư vấn là tương tự với nhau nếu như α(x) =1. lyên ổn β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) Nhận xét: 2Ngân hàng Ngoại thương VCB tương đương là trường đúng theo đặc trưng của 2 Vietcombank cùng bậc. Định lý: Nếu α(x) và β(x) là nhì Vietcombank khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) khi x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 llặng . x → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) Thật vậy, vì chưng α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 11.3.3.4. Các vô cùng nhỏ bé tương đương thường xuyên gặp gỡ Nếu α(x) → 0 Lúc x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x).1.3.4. Hàm số liên tục1.3.4.1. Định nghĩa f là 1 hàm số xác định trong khoảng (a, b), x 0 là 1 trong những điểm thuộc (a, b) .Ta nói rằng hàm số f thường xuyên tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 Nếu hàm số f ko thường xuyên tại x 0 , ta bảo rằng nó cách quãng tại x 0 . Nếu đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) rất có thể viết là: lyên = 0 tốt llặng Δy = 0 . x →x0 Δx →0 Crúc thích: Ta cũng nói cách khác rằng f tiếp tục trên x 0 ∈ (a, b) nếu: lyên f (x) = f ( lyên ổn x) . x →x0 x →x0 lấy ví dụ 16: Hàm số y = x 2 liên tục trên hồ hết x 0 ∈ R . Thật vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; llặng Δy = 2x 0 . lim Δx + lyên Δx. lyên Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 Tương từ điều này, có thể chứng tỏ được rằng gần như hàm số sơ cung cấp cơ bạn dạng hầu như liên tục tại đông đảo điểm nằm trong miền xác minh của nó.18 Bài 1: Hàm số, giới hạn cùng thường xuyên Định nghĩa: f(x) được Gọi là: thường xuyên trong tầm (a, b) trường hợp nó tiếp tục tại hồ hết điểm của khoảng chừng đó. liên tục trên đoạn , ví như nó tiếp tục trên đa số điểm của khoảng (a, b) , đôi khi liên tiếp đề nghị tại a (có nghĩa là llặng f (x) = f (a) ) cùng tiếp tục trái trên b (tức là: lim f (x) = f (b) ). x →a + 0 x →b −01.3.4.2. Các phép tân oán về hàm liên tục Từ các định lý về số lượng giới hạn của tổng, tích, tmùi hương với từ bỏ tư tưởng của hàm số liên tục trên một điểm, có thể dễ dãi suy ra: Định lý: Nếu f và g là hai hàm số liên tiếp trên x 0 thì: • f (x) + g(x) liên tiếp trên x 0 • f (x).g(x) tiếp tục trên x 0 f (x) • liên tục trên x 0 trường hợp g(x 0 ) ≠ 0 . g(x) Định lý: Nếu hàm số u = ϕ(x) liên tục trên x 0 , hàm số y = f (u) thường xuyên trên u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số hòa hợp y = (f ϕ)(x) = f thường xuyên trên x 0 . Chứng minh: Ta có lyên ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 vày ϕ liên tiếp tại x 0 . x →x0 Hàm số: y = f (u) liên tục tại u 0 . Do đó: llặng f (u) = f (u 0 ) u →u01.3.4.3. Tính chất của hàm số liên tiếp Các định lý tiếp sau đây (ko hội chứng minh) đặt ra phần lớn đặc thù cơ bản của hàm số liên tiếp. Định lý: Nếu hàm số f (x) thường xuyên trên đoạn thì nó bị chặn trên đoạn kia, tức là trường thọ hai số m với M làm sao cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ . Định lý: Nếu hàm số f (x) tiếp tục trên đoạn thì nó đạt quý hiếm nhỏ dại độc nhất vô nhị m với quý hiếm lớn nhất M của nó bên trên đoạn ấy, có nghĩa là trường tồn hai điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ Định lý (về cực hiếm trung gian): Nếu hàm số f (x) tiếp tục trên đoạn ; m với M là những cực hiếm nhỏ dại tốt nhất với lớn số 1 bên trên đoạn kia thì với đa số số μ nằm trong lòng m với M luôn trường tồn ξ ∈ sao cho: f ( ξ) = μ . Hệ quả: Nếu f(x) tiếp tục bên trên , f(a)f(b) Bài 1: Hàm số, giới hạn với liên tụcTÓM LƯỢC CUỐI BÀITrong bài xích này bọn họ nghiên cứu và phân tích cha vấn đề là:• Những vấn đề cơ phiên bản về hàm số một đổi mới số• Dãy số cùng giới hạn của hàng số• Giới hạn của hàm sốPhần thứ nhất khối hệ thống hóa lại các quan niệm cơ bản về hàm số một trở nên số, một số tính chấtcủa hàm số như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ mày mò cáccó mang về hàng số cùng giới hạn của hàng số, các định lý áp dụng để tính số lượng giới hạn của hàng số.Phần ở đầu cuối trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tục với các định nghĩa cực kì to, vôthuộc bé nhỏ.20